O processo de média móvel está parado

Considere o processo de ordem infinita MA definido por ytepsilonta (epsilon epsilon.), Onde a é uma constante e os epsilonts são i. i.d. Variável aleatória N (0, v). Qual é a melhor maneira de mostrar que yt é não-estacionário? Eu sei que eu preciso olhar para as raízes características do polinômio características e, em seguida, julgar se estão ou não fora do círculo unidade, mas qual é a melhor maneira de abordar este problema Devo tentar reescrever o processo de ordem infinita MA como um processo de ordem finita AR ou é mais fácil trabalhar o processo de MA perguntado Oct 19 13 em 21: 114.2 Modelos estacionários lineares para séries temporais onde a variável aleatória é chamada de inovação porque representa a Parte da variável observada que é imprevisível dados os valores passados. O modelo geral (4.4) assume que é a saída de um filtro linear que transforma as inovações passadas, isto é, é um processo linear. Esta hipótese de linearidade baseia-se no teorema da decomposição de Wolds (Wold 1938) que diz que qualquer processo discreto de covariância estacionária pode ser expresso como a soma de dois processos não correlacionados, onde é puramente determinista e é um processo puramente indeterminista que pode ser escrito como linear Soma do processo de inovação: onde está uma seqüência de variáveis ​​aleatórias serialmente não correlacionadas com média zero e variância comum. A condição é necessária para a estacionaridade. A formulação (4.4) é uma reparametrização finita da representação infinita (4.5) - (4.6) com constante. É geralmente escrito em termos do operador de defasagem definido por, que dá uma expressão mais curta: onde o polinômio polinômios e são chamados o polinômio polinomial, respectivamente. Para evitar a redundância de parâmetros, presumimos que não há fatores comuns entre o e os componentes. Em seguida, estudaremos o enredo de algumas séries temporais geradas por modelos estacionários com o objetivo de determinar os principais padrões de sua evolução temporal. A Figura 4.2 inclui duas séries geradas a partir dos seguintes processos estacionários calculados por meio do quantar genarma: Figura 4.2: séries temporais geradas por modelos Como esperado, ambas as séries temporais se movimentam em torno de um nível constante sem mudanças na variância devido à propriedade estacionária. Além disso, este nível está próximo da média teórica do processo, e a distância de cada ponto a este valor é muito raramente fora dos limites. Além disso, a evolução da série mostra desvios locais da média do processo, conhecida como o comportamento de reversão médio que caracteriza as séries temporais estacionárias. Estudemos com algum detalhe as propriedades dos diferentes processos, em particular, a função de autocovariância que captura as propriedades dinâmicas de um processo estacionário estocástico. Esta função depende das unidades de medida, portanto a medida usual do grau de linearidade entre as variáveis ​​é o coeficiente de correlação. No caso de processos estacionários, o coeficiente de autocorrelação a lag, denotado por, é definido como a correlação entre e: Assim, a função de autocorrelação (ACF) é a função de autocovariância padronizada pela variância. As propriedades do ACF são: Dada a propriedade de simetria (4.10), o ACF é geralmente representado por meio de um gráfico de barras nos retornos não negativos que é chamado de correlograma simples. Outra ferramenta útil para descrever a dinâmica de um processo estacionário é a função de autocorrelação parcial (PACF). O coeficiente de autocorrelação parcial com defasagem mede a associação linear entre os efeitos dos valores intermediários e é ajustado para eles. Portanto, é apenas o coeficiente do modelo de regressão linear: As propriedades do PACF são equivalentes às do ACF (4.8) - (4.10) e é fácil provar que (Box e Jenkins, 1976). Como a ACF, a função de autocorrelação parcial não depende das unidades de medida e é representada por meio de um gráfico de barras nos retornos não negativos que é chamado de correlograma parcial. As propriedades dinâmicas de cada modelo estacionário determinam uma forma particular dos correlogramas. Além disso, pode-se demonstrar que, para qualquer processo estacionário, ambas as funções, ACF e PACF, se aproximam de zero, já que a defasagem tende ao infinito. Os modelos não são sempre processos estacionários, por isso é necessário primeiro determinar as condições de estacionaridade. Existem subclasses de modelos que têm propriedades especiais, por isso vamos estudá-los separadamente. Assim, quando e, é um processo de ruído branco. Quando, é um processo de ordem móvel pura de ordem. , E quando se trata de um processo autoregressivo puro de ordem. . 4.2.1 Processo de Ruído Branco O modelo mais simples é um processo de ruído branco, onde é uma seqüência de variáveis ​​médias zero não correlacionadas com variância constante. É denotado por. Este processo é estacionário se sua variância é finita, dado que: verifica condições (4.1) - (4.3). Além disso, não está correlacionada ao longo do tempo, então sua função de autocovariância é: A Figura 4.7 mostra duas séries temporais simuladas geradas a partir de processos com média e parâmetros zero e -0,7, respectivamente. O parâmetro autorregressivo mede a persistência de eventos passados ​​nos valores atuais. Por exemplo, se, um choque positivo (ou negativo) afeta positivamente (ou negativamente) por um período de tempo que é maior quanto maior o valor de. Quando, a série se move mais rudemente em torno da média devido à alternância na direção do efeito de, ou seja, um choque que afeta positivamente no momento, tem efeitos negativos sobre, positivo em. O processo é sempre invertível e está parado quando o parâmetro do modelo é obrigado a ficar na região. Para provar a condição estacionária, primeiro escrevemos a forma média móvel pela substituição recursiva de (4.14): Figura 4.8: Correlatógrafos populacionais para processos Ou seja, é uma soma ponderada de inovações passadas. Os pesos dependem do valor do parâmetro: quando, (ou), a influência de uma determinada inovação aumenta (ou diminui) através do tempo. Tomando as expectativas para (4.15) para calcular a média do processo, temos: Dado que, o resultado é uma soma de termos infinitos que converge para todo o valor de apenas se, caso em que. Um problema semelhante aparece quando calculamos o segundo momento. A prova pode ser simplificada assumindo que, isto é,. Então, a variância é: Novamente, a variância vai para o infinito, exceto para, caso em que. É fácil verificar que tanto a média como a variância explodem quando essa condição não se mantém. A função de autocovariância de um processo estacionário é, portanto, a função de autocorrelação para o modelo estacionário é: Ou seja, o correlograma mostra um decaimento exponencial com valores positivos sempre se é positivo e com oscilações negativas positivas se for negativo (ver figura 4.8). Além disso, a taxa de decaimento diminui à medida que aumenta, portanto quanto maior o valor de mais forte a correlação dinâmica no processo. Finalmente, há um corte na função de autocorrelação parcial no primeiro retardo. Figura 4.9: Correlógrafos populacionais para processos Pode-se mostrar que o processo geral (Box e Jenkins, 1976): É estacionário somente se as raízes da equação característica do polinômio estiverem fora do círculo unitário. A média de um modelo estacionário é. É sempre invertible para quaisquer valores dos parâmetros. Seu ACF vai para zero exponencialmente quando as raízes de são reais ou com flutuações de onda seno-coseno quando elas são complexas. Seu PACF tem um corte no retardo, isto é. Alguns exemplos de Correlatos para modelos mais complexos, como o, pode ser visto na figura 4.9. Eles são muito semelhantes aos padrões quando os processos têm raízes reais, mas assumem uma forma muito diferente quando as raízes são complexas (veja o primeiro par de gráficos da figura 4.9). 4.2.4 Modelo de média móvel auto-regressiva O modelo de média móvel autorregressiva geral (ordem finita) das ordens, é: O que são processos autoregressivos estacionários (AR), média móvel (MA) e estacionários mistos (ARMA) Processo Os processos autoregressive (AR) estacionários têm as funções teóricas do autocorrelation (ACFs) que decaem para zero, em vez de cortar a zero. Os coeficientes de autocorrelação podem alternar no sinal com freqüência, ou mostrar um padrão ondulatório, mas em todos os casos, eles caem em direção a zero. Em contrapartida, os processos AR com ordem p têm funções de autocorrelação parcial teórica (PACF) que são cortadas para zero após o retardo p. Processo de média móvel (MA) As ACFs teóricas dos processos MA (média móvel) com a ordem q são cortadas para zero após o retardo q, a ordem MA Do processo. Entretanto, seus PACFs teóricos desmoronam em direção a zero. Processo estacionário misto (ARMA) Processos estacionários mistos (ARMA) mostram uma mistura de AR e MA características. Tanto o ACF teórico quanto o PACF desviam-se para zero. Movendo modelos médios Ao invés de usar valores passados ​​da variável de previsão em uma regressão, um modelo de média móvel usa erros de previsão passados ​​em um modelo de regressão. Y e teta teta e dots theta e, onde et é ruído branco. Referimo-nos a isto como um modelo MA (q). É claro que não observamos os valores de et, então não é realmente regressão no sentido usual. Observe que cada valor de yt pode ser considerado como uma média móvel ponderada dos últimos erros de previsão. No entanto, os modelos de média móvel não devem ser confundidos com o alisamento médio móvel discutido no Capítulo 6. Um modelo de média móvel é usado para prever valores futuros, enquanto o alisamento médio móvel é usado para estimar o ciclo tendencial de valores passados. Figura 8.6: Dois exemplos de dados de modelos de média móvel com diferentes parâmetros. Esquerda: MA (1) com y t 20e t 0,8e t-1. Direita: MA (2) com y t e t - e t-1 0,8e t-2. Em ambos os casos, e t é normalmente distribuído ruído branco com média zero e variância um. A Figura 8.6 mostra alguns dados de um modelo MA (1) e um modelo MA (2). Alterando os parâmetros theta1, dots, thetaq resulta em diferentes padrões de séries temporais. Tal como acontece com modelos autorregressivos, a variância do termo de erro e só mudará a escala da série, não os padrões. É possível escrever qualquer modelo AR (p) estacionário como um modelo MA (infty). Por exemplo, usando a substituição repetida, podemos demonstrar isso para um modelo AR (1): begin yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) amp phi12y phi1 e amp phi13y phi12e phi1 e amptext final Fornecido -1 lt phi1 lt 1, o valor de phi1k será menor à medida que k for maior. Assim, eventualmente, obtemos yt et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, um processo MA (infty). O resultado inverso é válido se impomos algumas restrições nos parâmetros MA. Em seguida, o modelo MA é chamado invertible. Ou seja, que podemos escrever qualquer processo de MA (q) invertível como um processo AR (infty). Modelos Invertiveis não são simplesmente para nos permitir converter de modelos MA para modelos AR. Eles também têm algumas propriedades matemáticas que torná-los mais fáceis de usar na prática. As restrições de invertibilidade são semelhantes às restrições de estacionaridade. Para um modelo MA (1): -1lttheta1lt1. Para um modelo MA (2): -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1-theta2 lt 1. Condições mais complicadas mantêm-se para qge3. Novamente, R cuidará dessas restrições ao estimar os modelos. ARMA Unplugged Esta é a primeira entrada da nossa série de tutoriais Unplugged, na qual examinamos os detalhes de cada um dos modelos de séries temporais com os quais você já está familiarizado, destacando As suposições subjacentes e condução casa as intuições por trás deles. Nesta edição, nós abordamos o modelo ARMA uma pedra angular na modelagem de séries temporais. Ao contrário de questões de análise anteriores, vamos começar aqui com a definição do processo ARMA, o estado das entradas, saídas, parâmetros, restrições de estabilidade, suposições e, finalmente, desenhar algumas orientações para o processo de modelagem. Antecedentes Por definição, a média móvel auto-regressiva (ARMA) é um processo estacionário estacionário composto por somas de Excel auto-regressivo e componentes de média móvel. Alternativamente, numa formulação simples: Suposições Vamos olhar mais de perto a formulação. O processo ARMA é simplesmente uma soma ponderada das observações de saída passadas e choques, com poucas suposições fundamentais: O que significam estas suposições Um processo estocástico é uma contrapartida de um processo determinista que descreve a evolução de uma variável aleatória ao longo do tempo. Em nosso caso, a variável aleatória é O processo ARMA captura apenas a correlação serial (ou seja, auto-correlação) entre as observações. Em palavras simples, o processo ARMA resume os valores de observações passadas, não seus valores quadrados ou seus logaritmos, etc. Dependência de ordem superior exige um processo diferente (por exemplo, ARCH / GARCH, modelos não-lineares, etc.). Existem inúmeros exemplos de um processo estocástico em que valores passados ​​afetam os atuais. Por exemplo, em um escritório de vendas que recebe RFQs em uma base contínua, alguns são percebidos como vendas-ganhou, alguns como vendas perdidas, e alguns derramou sobre para o próximo mês. Como resultado, em qualquer mês, alguns dos casos ganhos de vendas originam-se como solicitações de cotação ou são vendas repetidas dos meses anteriores. Quais são os choques, inovações ou termos de erro Esta questão é difícil, ea resposta não é menos confusa. Ainda, vamos tentar: Em palavras simples, o termo de erro em um determinado modelo é um catch-all bucket para todas as variações que o modelo não explica. Ainda perdido Vamos usar um exemplo. Para um processo de preço de ações, há possivelmente centenas de fatores que impulsionam o nível de preços para cima / para baixo, incluindo: Dividendos e anúncios divididos Relatórios de ganhos trimestrais Atividades de fusão e aquisição (MampA) Eventos legais, p. A ameaça de ações coletivas. Outros Um modelo, por design, é uma simplificação de uma realidade complexa, então tudo o que deixamos fora do modelo é automaticamente empacotado no termo de erro. O processo ARMA assume que o efeito coletivo de todos esses fatores age mais ou menos como ruído Gaussiano. Por que nos preocupamos com os choques passados ​​Ao contrário de um modelo de regressão, a ocorrência de um estímulo (por exemplo, choque) pode ter um efeito sobre o nível atual, e possivelmente níveis futuros. Por exemplo, um evento corporativo (por exemplo, a atividade da MampA) afeta o preço das ações da companhia, mas a mudança pode levar algum tempo para ter seu impacto total, pois os participantes do mercado absorvem / analisam as informações disponíveis e reagem de acordo. Isso implora a pergunta: não os valores passados ​​da saída já têm os choques informações passadas SIM, o histórico de choques já está contabilizado nos níveis de saída passados. Um modelo ARMA pode ser representado apenas como um modelo auto-regressivo puro (RA), mas o requisito de armazenamento de tal sistema em infinito. Esta é a única razão para incluir o componente MA: para economizar em armazenamento e simplificar a formulação. Novamente, o processo ARMA deve ser estacionário para que a variância marginal (incondicional) exista. Nota: Na minha discussão acima, não estou fazendo uma distinção entre meramente a ausência de uma raiz unitária na equação característica e a estacionaridade do processo. Eles estão relacionados, mas a ausência de uma raiz unitária não é uma garantia de estacionário. Ainda assim, a raiz unitária deve estar dentro do círculo da unidade para ser exata. Conclusão Vamos recapitular o que fizemos até agora. Primeiro examinamos um processo ARMA estacionário, juntamente com sua formulação, entradas, suposições e requisitos de armazenamento. Em seguida, mostrou que um processo ARMA incorpora seus valores de saída (auto-correlação) e choques que experimentou anteriormente na saída atual. Finalmente, mostramos que o processo ARMA estacionário produz uma série temporal com uma média e uma variância estáveis ​​a longo prazo. Em nossa análise de dados, antes de propormos um modelo ARMA, devemos verificar a suposição de estacionaridade e os requisitos de memória finita. Caso a série de dados exiba uma tendência determinística, precisamos remover (des-tendência) primeiro e, em seguida, usar os resíduos para ARMA. Caso o conjunto de dados exiba uma tendência estocástica (por exemplo, caminhada aleatória) ou sazonalidade, precisamos entreter ARIMA / SARIMA. Finalmente, o correlograma (isto é, ACF / PACF) pode ser usado para medir a necessidade de memória do modelo, devemos esperar que ACF ou PACF se decomponham rapidamente após alguns desfasamentos. Se não, isto pode ser um sinal de não estacionaridade ou um padrão de longo prazo (por exemplo, ARFIMA).